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Die Zinsrechnung ist ein elementarer Bestandteil der Arithmetik und wird im täglichen Leben immer wieder gebraucht.

Zinsrechnung

Bei der Berechnung von Zinsen geht es darum auszurechnen, wie schnell sich Geld bei einer vorgegeben Verzinsung vermehrt. Um das in Formeln ausdrücken zu können, führen wir folgende Abkürzungen ein:

K0 = Anfangskapital

Kn = Kapital nach n Jahren

p= Zinssatz in Prozent

Im Grunde genommen ist Zinsrechnung nichts anderes als einfache Prozentrechnung. Nach einem Jahr hat sich das Geld um p % vermehrt, das bedeutet

K1=K0*(1+p/100)

Ein Beispiel: Befinden sich auf dem Konto anfänglich 1.000 Euro und beträgt der Zinssatz 3 %, dann wird daraus

K1=1.000 Euro *(1+3/100)=1.030 Euro.

Im ersten Jahr wurden also 30 Euro Zinsen bezahlt.

Zinseszinsen

Wie viele Zinsen werden aber in n Jahren gezahlt? Ganz falsch wäre die Antwort 30*n, weil die Zinsen in jedem Jahr aufgrund des Zinseszinseffekts anwachsen. Im zweiten Jahr werden in unserem Beispiel die 3 % Zinsen bereits auf 1.030 Euro statt auf nur 1.000 Euro bezahlt. Um die Zinsen nach n Jahren zu berechnen, muss man im Prinzip die Rechnung also n-mal nach folgendem Schema wiederholen:

Im zweiten Jahr wird das nach dem ersten Jahr vorhandene Kapital erneut verzinst, das bedeutet

K2=K1*(1+p/100)

K1 kennen wir aber bereits: K1=K0*(1+p/100)

Setzen wir das ein, erhalten wir

K2=K0*(1+p/100)2

Dies könnten wir jetzt n-mal wiederholen, aber glücklicherweise ist das nicht erforderlich. Nach jedem Jahr muss das zu diesem Zeitpunkt vorhandene Kapital erneut mit (1+p/100) multipliziert werden. Das bedeutet nichts anderes als

Kn=K0*(1+p/100)n

Nehmen wir an, unsere 1.000 Euro werden 25 Jahre lang mit 3 % verzinst. Dann werden daraus am Ende

K25=1.000 Euro *(1+3/100)25=2.093,78 Euro

Man sieht daran übrigens, dass Zinseszinsen sehr wichtig sind! Ohne Zinseszinsen wären in jedem Jahr 30 Euro Zinsen gezahlt worden, in 25 Jahren also 750 Euro. In diesem Fall betrüge das Endkapital lediglich 1.750 Euro!

Unterjährige Verzinsung

Um das Ganze ein wenig übersichtlicher zu gestalten, wird bei der Berechnung unterjähriger Zinsen gewöhnlich davon ausgegangen, dass das Jahr aus 12 Monaten mit je 30 Tagen besteht. Das stimmt natürlich nicht genau, macht aber die Berechnungen einfacher und einheitlich. Wir bleiben bei unserem Beispiel und nehmen jetzt an, die 1.000 Euro werden nur für einen Monat angelegt, der jährliche Zinssatz beträgt wieder 3 %. Dann ist die Berechnung sehr einfach, es wird ein Zwölftel der Jahreszinsen gezahlt: Der monatliche Zinssatz beträgt

pmonatlich=pjährlich/12= 3/12=0,25

Bei der Berechnung der Zinsen ändert sich nichts gegenüber der jährliche Zinsberechnung. In der Formel muss nur der monatliche statt des jährlichen Zinssatzes verwendet werden. Nach einem Monat ist das Geld also auf einen Betrag von

K1Monat=1.000 Euro*(1+pmonatlich/100)=1.002,50 Euro angewachsen.

Auf die gleiche Weise kann auch die Verzinsung für einen Tag ausgerechnet werden. Dazu muss nur der tägliche Zinssatz ptäglich=pjährlich/360 in der Formel verwendet werden.

Aufgepasst bei unterjähriger Verzinsung

Eigentlich hat die Sache mit der unterjährigen Verzinsung ja einen Haken. Auch hier spielt der Zinseszinseffekt eine Rolle. Nehmen wir das Extrembeispiel der täglichen Verzinsung: Die 1.000 Euro 360 mal mit ptäglich zu verzinsen ist etwas anderes als sie einmal mit pjährlich zu verzinsen. Bei 360-facher täglicher Verzinsung beläuft sich das Endkapital in unserem Beispiel auf

K1=1.000 Euro*(1+ptäglich/100) 360=1.030,45 Euro

statt auf 1.030 Euro bei jährlicher Verzinsung.

Dieses vereinfachte Verfahren führt also streng genommen dazu, dass die effektiven Zinsen immer ein wenig höher sind, wenn das Geld nicht über das gesamte Jahr angelegt wird, wie es zum Beispiel beim Tagesgeld und den daraus resultierenden Tagesgeldzinsen der Fall ist. Dieses Verfahren wird als "lineare unterjährige Verzinsung" bezeichnet. Wegen des Zinseszinseffekts müsste jemand, der sein Geld z.B. für ein halbes Jahr anlegt, eigentlich etwas weniger Zinsen bekommen als die Hälfte der vollen Jahreszinsen. Einige Banken rechnen deswegen ganz genau, um diesen Effekt auszugleichen. Dann spricht man von "exponentieller unterjähriger Verzinsung".

Zinsberechnungen für beliebige Zeiträume in Monaten oder Jahren können mit dem nachfolgenden Zinsrechner durchgeführt werden: